已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0).
(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=3时,f(x)=x2-3lnx,
∴f'(x)=2x-
(1分)3 x
∴fˊ(1)=-1
又∵f(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1).
即x+y-2=0.--------------------------------3分
(Ⅱ)(1)下面先证明:ea>a(a≥0).
设g(a)=ea-a(a≥0),则g′(a)=ea-1≥e0-1=0(a≥0),且仅当g′(a)=0⇔a=0,
所以g(a)在[0,+∞)上是增函数,故g(a)≥g(0)=1>0.
所以ea-a>0,即ea>a(a≥0).------------------------------5分
(2)因为f(x)=x2-a lnx,
所以f′(x)=2x-
=a x
=2x2-a x
.2(x-
)(x+2a 2
) 2a 2 x
因为当0<x<
时,fˊ(x)<0,当x>2a 2
时,1,fˊ(x)>0.2a 2
又
<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)⇒a 2
<ea,2a 2
所以f(x)在(0,
]上是减函数,在[2a 2
,+∞)是增函数.2a 2
所以f(x)min=f(
)=2a 2
(1-lna 2
).------------------------------9分a 2
(3)下面讨论函数f(x)的零点情况.
①当
(1-lna 2
)>0,即0<a<2e时,函数f(x)在(1,ea)上无零点;a 2
②当
(1-lna 2
)=0,即a=2e时,a 2
=2a 2
,则1<e
<ea2a 2
而f(1)=1>0,f(
)=0,f(ea)>0,2a 2
∴f(x)在(1,ea)上有一个零点;
③当
(1-lna 2
)<0,即a>2e时,ea>a 2
>2a 2
>1,e
由于f(1)=1>0,f(
)=2a 2
(1-lna 2
)<0.a 2
f(ea)=e2a-a lnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0,
所以,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.(13分)
综上所述,f(x)在(1,ea)上有结论:
当0<a<2e时,函数f(x)有、无零点;
a=2e时,函数f(x)有一个零点;
当a>2e时,函数f(x)有两个零点.------------------------------14分.