问题 解答题

已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0).

(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;

(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).

答案

(Ⅰ)当a=3时,f(x)=x2-3lnx,

∴f'(x)=2x-

3
x
(1分)

∴fˊ(1)=-1

又∵f(1)=1,

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1).

即x+y-2=0.--------------------------------3分

(Ⅱ)(1)下面先证明:ea>a(a≥0).

设g(a)=ea-a(a≥0),则g′(a)=ea-1≥e0-1=0(a≥0),且仅当g′(a)=0⇔a=0,

所以g(a)在[0,+∞)上是增函数,故g(a)≥g(0)=1>0.

所以ea-a>0,即ea>a(a≥0).------------------------------5分

(2)因为f(x)=x2-a lnx,

所以f′(x)=2x-

a
x
=
2x2-a
x
=
2(x-
2a
2
)(x+
2a
2
x

因为当0<x<

2a
2
时,fˊ(x)<0,当x>
2a
2
时,1,fˊ(x)>0.

a
2
<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)⇒
2a
2
<ea

所以f(x)在(0,

2a
2
]上是减函数,在[
2a
2
,+∞)是增函数.

所以f(x)min=f(

2a
2
)=
a
2
(1-ln
a
2
)
.------------------------------9分

(3)下面讨论函数f(x)的零点情况.

①当

a
2
(1-ln
a
2
)>0,即0<a<2e时,函数f(x)在(1,ea)上无零点;

②当

a
2
(1-ln
a
2
)=0,即a=2e时,
2a
2
=
e
,则1<
2a
2
<ea

而f(1)=1>0,f(

2a
2
)=0,f(ea)>0,

∴f(x)在(1,ea)上有一个零点;

③当

a
2
(1-ln
a
2
)<0,即a>2e时,ea
2a
2
e
>1,

由于f(1)=1>0,f(

2a
2
)=
a
2
(1-ln
a
2
)
<0.

f(ea)=e2a-a lnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0,

所以,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.(13分)

综上所述,f(x)在(1,ea)上有结论:

当0<a<2e时,函数f(x)有、无零点;

a=2e时,函数f(x)有一个零点;

当a>2e时,函数f(x)有两个零点.------------------------------14分.

单项选择题
选择题