问题 解答题

已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0).

(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;

(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).

答案

(Ⅰ)当a=3时,f(x)=x2-3lnx,

∴f'(x)=2x-

3
x
(1分)

∴fˊ(1)=-1

又∵f(1)=1,

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1).

即x+y-2=0.--------------------------------3分

(Ⅱ)(1)下面先证明:ea>a(a≥0).

设g(a)=ea-a(a≥0),则g′(a)=ea-1≥e0-1=0(a≥0),且仅当g′(a)=0⇔a=0,

所以g(a)在[0,+∞)上是增函数,故g(a)≥g(0)=1>0.

所以ea-a>0,即ea>a(a≥0).------------------------------5分

(2)因为f(x)=x2-a lnx,

所以f′(x)=2x-

a
x
=
2x2-a
x
=
2(x-
2a
2
)(x+
2a
2
x

因为当0<x<

2a
2
时,fˊ(x)<0,当x>
2a
2
时,1,fˊ(x)>0.

a
2
<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)⇒
2a
2
<ea

所以f(x)在(0,

2a
2
]上是减函数,在[
2a
2
,+∞)是增函数.

所以f(x)min=f(

2a
2
)=
a
2
(1-ln
a
2
)
.------------------------------9分

(3)下面讨论函数f(x)的零点情况.

①当

a
2
(1-ln
a
2
)>0,即0<a<2e时,函数f(x)在(1,ea)上无零点;

②当

a
2
(1-ln
a
2
)=0,即a=2e时,
2a
2
=
e
,则1<
2a
2
<ea

而f(1)=1>0,f(

2a
2
)=0,f(ea)>0,

∴f(x)在(1,ea)上有一个零点;

③当

a
2
(1-ln
a
2
)<0,即a>2e时,ea
2a
2
e
>1,

由于f(1)=1>0,f(

2a
2
)=
a
2
(1-ln
a
2
)
<0.

f(ea)=e2a-a lnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0,

所以,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.(13分)

综上所述,f(x)在(1,ea)上有结论:

当0<a<2e时,函数f(x)有、无零点;

a=2e时,函数f(x)有一个零点;

当a>2e时,函数f(x)有两个零点.------------------------------14分.

单项选择题
问答题

口语交际与综合性学习。  

1.古城襄阳,如今已有18 .2 万志愿者,在贫困人员家中,在孤寡老人床前,在失学儿童身后,在公益活动现场,他们用有力的臂膀撑起弱势群体的天空,用温暖的双手焐热无数冰封的心灵,他们崇尚奉献的志愿精神深深地感动着你我。于是,你想和同学们一起加入志愿者队伍,你对大家说:___________________________

2.【续写标语】为鼓励更多同学参与活动,班长负责设计一条宣传标语。他根据下面语段中的划线句拟出了标语的前半句,请你续写后半句。(要求:与前半句语 意相关、字数相等)书的世界是一个多彩的世界,与书 为伴是人生最大的幸事。读到一本好书的时候会感到一时的快乐,我们常常会心一笑;而经常性地读书则会让我们一辈子都从中获得很多益处,真正领略“ 读书是福”的意境。

标语:读好书一时快乐,__________________________ 。

  【设计活动】这次活动的成功举行离不开合理的安排,语文老师已设计好了两种活动形式,请你帮他再设计两个。

活动一:举办“我的读书经验”交流会

活动二:举行“书香溢襄阳”读书知识竞赛

活动三:__________________________

活动四:__________________________           

  【仿写表达】谈到读书的作用时,大家各抒己见,请仿照画线句在横线上写一句话,表达你对读书作用的认识。

  读一本好书,犹如同一位高尚的人对话。读书,让我们体验生活的乐趣;__________________________ ,__________________________;读书,让我们懂得做人的道理

  【探究材料】怎样读书才更有效?请联 系下面的材料,写出你的探究结果。

  材料一:随着社会的发展,书籍的数量不断增多,在读书上人们只有进行一番选择,才能找到既引起自己阅读兴趣价值的书。而不加选择的阅读,至少说明在读书上还不成熟。从某种意义上说,读书的水平也反映在书籍的选择上,犹如在琳琅满目的货架上,就看谁有眼力能拿到货真价实的东西。而选择的对象,恰恰也能表明一个人的情趣、欣赏水平乃至人生追求。因此,读什么书会像一面镜子,将人们的精神世界映照得一清二楚。

  材料二:世上书籍如汪洋大海,再热衷的书迷也不可能穷尽,只能尝其一瓢,区别在于尝哪一瓢。读书是一件非常私人的事情,喜欢读什么书,不论范围是宽是窄,都应该有自己的选择,体现自己的个性和兴趣。其实,形成自己的阅读趣味与养成读书癖好是不可分的,正因为找到了和预感到了书中知己,才会锲而不舍,欲罢不能。没有 自己的趣味,仅凭道听途说,东瞧瞧,西瞧瞧,连兴趣也谈不上,更不用说癖好。

探究结果:__________________________