（1）选修4-2：矩阵与变换若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所

问题解答题

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=

和e2=

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

x=2sinθ

y=cosθ

(θ为参数），C₂的参数方程为

x=2t

y=t+1

(t为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

答案

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

（I）设A=（

a	b
c	d

），由A

=λ₁

，A

=λ₂

得：

a	b
c	d

，

a	b
c	d

=-1×

-1

，

∴

a=2

c=0

b=0

d=-1

，故A=

2	0
0	-1

…4分

（II）设曲线x²+y²=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则

2	0
0	-1

x′

y′

，即

x′=2x

y′=-y

，

∴

x′

y=-y′

，从而(

x′)2+（-y′）²=1，即

x′2

+y′²=1，

∴新曲线方程为

+y²=1…7分

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

∵（Ⅰ）C₁：

x=2sinθ

y=cosθ

(θ为参数），C₂：

x=2t

y=t+1

(t为参数，

∴C₁的普通方程为x²+y²=1，C₂的普通方程为y=x-1…4分

（Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂垂直的直线方程为y=-x，

在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=

或θ=

3π

…7分

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）

x＜

4-4x≤5

或

≤x≤

2≤5

或

x＞

4x-4≤5

，

∴不等式的解集为x∈[-

，

]…4分

（Ⅱ）若g（x）=

f(x)+m

的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，

又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，

∴f（x）的最小值为2，

∴m＜-2…7分．