问题 解答题
已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=alnx.
(1)若两曲线y=f(x)与y=g(x)在x=2处的切线互相垂直,求a的值,并判断函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性并写出其单调区间;
(2)若函数ϕ(x)=af(x)+
g(x)
a
的图象与直线y=x至少有一个交点,求实数a的取值范围.
答案

(1)由题意:g′(x)=

a
x
,∴g(x)的图象在x=2切线的斜率为:g′(2)=
a
2

又f′(x)=2(x-1),∴f(x)的图象在x=2切线的斜率为:f′(2)=2,

由两曲线y=f(x)与y=g(x)在x=2处的切线互相垂直得:

a
2
×2=-1,∴a=-1,

∴F(x)=f(x)-g(x)=(x-1)2+lnx,(x>0)

∴F′(x)=2x+

1
x
-2≥2
2
-2>0

即函数F(x)在(0,+∞)上为增函数,

(2)ϕ(x)=af(x)+

g(x)
a
=a(x-1)2+lnx

令h(x)=ϕ(x)-x,由题意得h(x)=0在区间(0,+∞)上至少有一解,h′(x)=

(2ax-1)(x-1)
x
,令h'(x)=0,得x1=
1
2a
x2=1

①当

1
2a
<0即a<0时,h(x)单调递增区间为(0,1),减区间为(1,+∞),

所以h(x)max=h(1)=-1<0,所以方程h(x)=0无解.

②当

1
2a
>1即0<a<
1
2
时,h(x)单调递增区间为(0,1),(
1
2a
,+∞)
,减区间为(1,
1
2a
),所以极大值h(1)=-1,极小值h(
1
2a
)<0

又h(x)=a(x-1)2+lnx-x=a(x-1-

1
2a
)2+lnx-
1
4a
-1

h(2+

1
a
)=a(1+
1
2a
)2+ln(2+
1
a
)-1-
1
4a
=a+ln(2+
1
a
)>0,所以方程恰好有一解;

③当a=

1
2
时,h'(x)≥0,由上②知方程也恰好有一解;

④当a>

1
2
时,h(x)单调递增区间为(0,
1
2a
),(1,+∞),减区间为(
1
2a
,1),

同上可得方程h(x)=0在(0,+∞)上至少有一解.

综上所述,所求a的取值范围为(0,+∞)

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