（I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），

则有lnx₀=（m+1）x₀²-x₀①，

又在点P处有共同的切线，

∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2(m+1)x0-1⇒m=

1+x0

2 x 20

-1，②

②代入①，得lnx0=

1

2

-

1

2

x0．

设h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x⇒h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)．

所以，函数h（x）最多只有1个零点，

观察得x₀=1是零点，故m=0．

此时，点P（1，0）；

（II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），

此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x=

1

2

，

而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，

即x=

1

2(m+1)

＞

1

2

，解得-1＜m＜0．两条曲线有两个不同的交点，

当m＜-1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，

所以，有-1＜m＜0；

（III）假设存在这样的m，不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，

则MN中点的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．

以S为切线的切线l₁的斜率ks=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，

以T为切点的切线l₂的斜率kT=g′(

x1+x2

2

)=(m+1)(x1+x2)-1．

如果存在m，使得k_s=k_T，

即

2

x1+x2

=(m+1)(x1+x2)-1．③

而且有lnx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．

如果将③的两边同乘以x₁-x₂，得

④

2(x1-x2)

x1+x2

=(m+1)(

x

21

-

x

22

)-(x1-x2)，

即

2(x1-x2)

x1+x2

=[(m+1)

x

21

-x1]-[(m+1)

x

22

-x2]=lnx1-lnx2=ln

x1

x2

，

也就是ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

．

设μ=

x1

x2

＞1，则有lnμ=

2(μ-1)

1+μ

(μ＞1)．

令h(μ)=lnμ-

2(μ-1)

1+μ

（μ＞1），则h′(μ)=

1

μ

-

4

(1+μ)2

=

(μ-1)2

μ(1+μ)2

．

∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．

因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，故h（μ）＞h（1）=0．

∴lnμ＞

2(μ-1)

1+μ

(μ＞1)⑤

∴④与⑤矛盾．

所以，不存在实数m使得l₁∥l₂．