问题
解答题
已知向量
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T; (Ⅱ)若方程f(x)-t=0在x∈[
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答案
(I)∵
=(sinx,-1),m
=(n
cosx,3
),1 2
∴
+m
=(sinx+n
cosx,-3
),可得1 2
f(x)=(
+m
)•n
=sinx(sinx+m
cosx)+3
=sin2x+1 2
sinxcosx+3 1 2
∵sin2x=
(1-cos2x),sinxcosx=1 2
sin2x1 2
∴f(x)=
(1-cos2x)+1 2
sin2x+3 2
=sin(2x-1 2
)+1π 6
因此,f(x)的最小正周期T=
=π;2π 2
(II)∵x∈[
,π 4
],可得2x-π 2
∈[π 6
,π 3
]5π 6
∴sin(2x-
)∈[π 6
,1],得f(x)=sin(2x-1 2
)+1的值域为[π 6
,2]3 2
∵方程f(x)-t=0在x∈[
,π 4
]上有解,π 2
∴f(x)=t在x∈[
,π 4
]上有解,可得实数t的取值范围为[π 2
,2].3 2