问题 解答题
已知向量
m
=(sinx,-1)
,向量
n
=(
3
cosx,
1
2
)
,函数f(x)=(
m
+
n
)
m

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)若方程f(x)-t=0在x∈[
π
4
π
2
]
上有解,求实数t的取值范围.
答案

(I)∵

m
=(sinx,-1),
n
=(
3
cosx,
1
2
)

m
+
n
=(sinx+
3
cosx,-
1
2
),可得

f(x)=(

m
+
n
)•
m
=sinx(sinx+
3
cosx)+
1
2
=sin2x+
3
sinxcosx+
1
2

∵sin2x=

1
2
(1-cos2x),sinxcosx=
1
2
sin2x

∴f(x)=

1
2
(1-cos2x)+
3
2
sin2x+
1
2
=sin(2x-
π
6
)+1

因此,f(x)的最小正周期T=

2
=π;

(II)∵x∈[

π
4
π
2
],可得2x-
π
6
∈[
π
3
6
]

∴sin(2x-

π
6
)∈[
1
2
,1],得f(x)=sin(2x-
π
6
)+1的值域为[
3
2
,2]

∵方程f(x)-t=0在x∈[

π
4
π
2
]上有解,

∴f(x)=t在x∈[

π
4
π
2
]上有解,可得实数t的取值范围为[
3
2
,2].

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