已知函数f(x)=
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）与g（x）的公共单调区间； （Ⅱ）若函数h（x）有极值，求实数a的何值范围； （Ⅲ）当a＜0时，讨论函数h（x）的零点个数． |
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=x2+2x=x（x+2）…（1分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞0，由f'（x）＜0得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），递减区间是（-2，0），…（3分）
又g（x）的对称轴为x=-2且开口向上，
∴g（x）的单调递增区间是（-2，+∞），递减区间是（-∞，-2），…（4分）
∴a=1时，f（x）与g（x）的公共单调递增区间是（0，+∞），无公共递减区间…（5分）
（Ⅱ）h(x)=f(x)+g(x)=
ax3+(a+2)x2+8x+121 3
∴h'（x）=ax2+2（a+2）x+8=（ax+4）（x+2）…（6分）
①当a=0时，h'（x）=2x2+8x+12=2（x+2）2+4在（-2，+∞）递增，
在（-∞，-2）递减，则h（x）有极小值，符合题设…（7分）
②当a≠0时，令h'（x）=0得，x1=-2，x2=-
，4 a
若函数h（x）有极值，h'（x）=0两个相异实根，∴-2≠-
，得 a≠24 a
综上（1）（2）得，若函数h（x）有极值，实数a的何值范围是：{a/a≠2，a∈R}…（9分）
（Ⅲ）∵a＜0，由h'（x）=（ax+4）（x+2）=0得x=-2或x=-
，4 a
则-
＞-24 a
将x，h'（x），h（x）的变化情况列表如下：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，-
| -
| （-
| ||||||
| h'（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
| h （ x ） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 4 |
| 3 |
（另设
=t，h(x)极大值=h(-4t)=1 a
(t-32 3
)2+6＞0，亦可）3 4
当
a+4＞0即-3＜a＜0时，在x充分大时，h（x）＜0，∴h（x）零点个数为1；4 3
当
a+4=0即a=-3时，h（x）零点个数为2；4 3
当
a+4＜0即a＜-3时，h（x）零点个数为3； …（13分）4 3
综上所述，当-3＜a＜0时，h（x）零点个数为1；当a=-3时，h（x）零点个数为2；
当a＜-3时，h（x）零点个数为3．…（14分）