问题
解答题
| 已知f（x）=ex-ax（e=2.718…） （I）讨论函数f（x）的单调区间； （II）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，求a的取值范围； （Ⅲ） A（xl，yl），B（x2，y2）是f（x）的图象上任意两点，且x1＜x2，若总存在xo∈R，使得f′(xo)=
|
答案
（I）∵f（x）=ex-ax，
∴f′（x）=ex-a，令f′（x）=ex-a＞0，
①当a≤0时，f′（x）=ex-a＞0在x∈R上恒成立，
所以f（x）在R上单调递增．
②当a＞0时，∵f′（x）=ex-a＞0，∴ex-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
（II）∵函数f（x）在区间（0，2）上有两个零点，
∴由（Ⅰ）知a＞0，且
，f(0)=1＞0 f(lna)=elna-alna＜0 f(2)=e2-2a＞0
解得e＜a＜
．e2 2
故a的取值范围是（e，
）．e2 2
（Ⅲ）证明：f′（x0）=y1-y2 x1-x2
⇔ex0-a=ex1-ex2-a(x1-x2) x1-x2
⇔ex0=
，ex1-ex2 x1-x2
等式两边同时除以ex1，得
=ex0 ex1
，1-ex2-x1 x1-x2
设t=x2-x1，则t＞0，
构造函数g（t）=
=1-et -t
．et-1 t
则g′(t)=
=et•t-(et-1) t2
＞0在t＞1时恒成立，et(t-1)+1 t2
所以g（t）在t＞1时恒成立，
所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，
所以
＞1，故x0＞x1．ex0 ex1