问题 解答题
已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-2x(a<0)
(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a=-
1
2
且关于x的方程f(x)=-
1
2
x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
答案

(I)对函数求导数,得f'(x)=-

ax2+2x-1
x
(x>0)

依题意,得f'(x)<0在(0,+∞)上有解.即ax2+2x-1>0在x>0时有解.

∴△=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.

再结合a<0,得-1<a<0…(5分)

(II)a=-

1
2
时,f(x)=-
1
2
x+b即
1
4
x2-
3
2
x+lnx-b=0

设g(x)=

1
4
x2-
3
2
x+lnx-b,则g'(x)=
(x-2)(x-1)
2x

∴当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,2)时,g'(x)<0;当x∈(2,4)时,g'(x)>0.

得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数.在(1,2)上是减函数

∴g(x)的极小值为g(2)=ln2-b-2;g(x)的极大值为g(1)=-b-

5
4
,且g(4)=-b-2+2ln2;---(5分)

∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

g(1)≥0
g(2)<0
g(4)≥0
,解之得:ln2-2<b≤-
5
4
…(5分)

单项选择题
阅读理解与欣赏

       二世元年七月,发闾左逋戍渔阳,九百人屯大泽乡。陈胜、吴广皆次当行,为屯长。会天大雨,道不通,度已失期。失期,法皆斩。陈胜、吴广乃谋日:“今亡亦死,举大计亦死;等死,死国可乎?”陈胜日:“天下苦秦久矣。吾闻二世少予也,不当立,当立者乃公子扶苏。扶苏以数谏故,上使外将兵。今或闻元罪,二世杀之。百姓多闻其贤,未知其死也。项燕为楚将,数有功,爱士卒,楚人怜之。或以为死,或以为亡。今诚以吾众诈自称公子扶苏、项燕,为天下唱,宜多应者。”吴广以为然。

1.选出划线的词意思相同的一组[ ]

A.扶苏数谏故,上使外将兵       皆美于徐公

B.项燕为楚将,有功       夹岸百步,中无杂树

C.以为死,或以为亡       而长烟一空,皓月千里

D.陈胜、吴广乃曰       惩山北之塞,出入之迂也,聚室而

2.选出翻译时括号里的内容无须补出的一句[ ]

A.九百人屯(于)大泽乡。

B.上使(之)外将兵。

C.天下苦(于)秦久矣。

D.失期,法皆斩(之)。

3.用现代汉语翻译文中画线的句子。

     等死,死国可乎?

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4.陈胜、吴广决定起义的直接原因是什么?(用选文原句回答)

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