已知函数f(x)=lnx-
(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (Ⅱ)若a=-
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(I)对函数求导数,得f'(x)=-
(x>0)ax2+2x-1 x
依题意,得f'(x)<0在(0,+∞)上有解.即ax2+2x-1>0在x>0时有解.
∴△=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.
再结合a<0,得-1<a<0…(5分)
(II)a=-
时,f(x)=-1 2
x+b即1 2
x2-1 4
x+lnx-b=03 2
设g(x)=
x2-1 4
x+lnx-b,则g'(x)=3 2 (x-2)(x-1) 2x
∴当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,2)时,g'(x)<0;当x∈(2,4)时,g'(x)>0.
得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数.在(1,2)上是减函数
∴g(x)的极小值为g(2)=ln2-b-2;g(x)的极大值为g(1)=-b-
,且g(4)=-b-2+2ln2;---(5分)5 4
∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
∴
,解之得:ln2-2<b≤-g(1)≥0 g(2)<0 g(4)≥0
…(5分)5 4