A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：（

问题解答题

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3	1+x

，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|成立．

答案

（本小题满分13分）

（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）∈（1，2）；x∈[1，2]，

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

，1＜

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

＜2，所以φ（2x）∈（1，2）；．

对任意的x₁，x₂∈[1，2]，|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|=|x₁-x₂|

3	(1+2x1)2

2	(1+x1)(1+x2)

3	(1+x2)2

3＜

3	(1+x1)2

3	(1+2x2)(1+x2)

3	(1+x2)2

，

所以0＜

3	(1+2x1)2

2	(1+x1)(1+x2)

3	(1+x2)2

＜

，

≤L|x₁-x₂|，

令

3	(1+2x1)2

2	(1+x1)(1+x2)

3	(1+x2)2

=L，0＜L＜1，

|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，所以φ（x）∈A．…（5分）

（Ⅱ）反证法：设存在两个x₀，x₀′∈（1，2），x₀≠x₀′使得x₀′=φ（2x₀′），

则由|φ（2x₀）-φ（2x₀′）|≤L|x₀-x₀′|，得）|x₀-x₀′|≤L|x₀-x₀′|，所以L≥1，矛盾，故结论成立．…（8分）

（Ⅲ）|x₃-x₂|=|ϕ（2x₂）-ϕ（2x₁）|≤L|x₂-x₁|，

所以|x_n+1-x_n|=|ϕ（2x_n）-ϕ（2x_n-1|≤L|x_n-x_n-1|≤L²|x_n-1-x_n-2|…

≤L^n-1|x₂-x₁||x_k+p-x_k|=|（x_k+p-x_k+p-1）+（x_k+p-1-x_k+p-2）+…+（x_k+1-x_k）|

≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|

≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^k+p-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|

Lk-1(1-Lp)

1-L

|x2-x1|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|．…（13分）