问题
解答题
已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．
答案
（Ⅰ）由题意f（x）=x2（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）设此最小值为m．，f/(x)=3x2-2ax=3x(x-
a)，x∈(1，2)，2 3
（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a
（2）当a＞0时，
当x＜0或x＞
时，f'（x）＞0，从而f（x）在[2a 3
a，+∞）上是增函数；2 3
当0＜x＜
时，f'（x）＜0，从而f（x）在区间[0，2a 3
a]上是单调减函数2 3
①当
a≥2，即a≥3时，m=f（2）=8-4a2 3
②当1≤
a＜2，即2 3
≤a＜3时，m=f(3 2
)=-2a 3
3.4a 27
③当0＜a＜
时，m=f（1）=1-a3 2
综上所述，所求函数的最小值m=1-a，(a≤
)3 2 -
，(4a3 27
＜a＜3)3 2 4(2-a)，(a≥3)
