问题 解答题

已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a).

(Ⅰ)当a=3时,求f(x)的零点;

(Ⅱ)求函数y=f (x)在区间[1,2]上的最小值.

答案

(Ⅰ)由题意f(x)=x2(x-3),

由f(x)=0,解得x=0,或x=3;

(Ⅱ)设此最小值为m.,f/(x)=3x2-2ax=3x(x-

2
3
a),x∈(1,2),

(1)当a≤0时,f′(x)>0,x∈(1,2),

则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a

(2)当a>0时,

x<0或x>

2a
3
时,f'(x)>0,从而f(x)在[
2
3
a
,+∞)上是增函数;

0<x<

2a
3
时,f'(x)<0,从而f(x)在区间[0,
2
3
a
]上是单调减函数

①当

2
3
a≥2,即a≥3时,m=f(2)=8-4a

②当1≤

2
3
a<2,即
3
2
≤a<3
时,m=f(
2a
3
)=-
4a
27
3
.

③当0<a<

3
2
时,m=f(1)=1-a

综上所述,所求函数的最小值m=

1-a,(a≤
3
2
)
-
4a3
27
,(
3
2
<a<3)
4(2-a),(a≥3)

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