∵g（x）=2^x-2，当x≥1时，g（x）≥0，

又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，

∴f（x）=mx（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，即m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，

则二次函数y=m（x-2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，

所以有

所以实数m的取值范围是：（-4，0）．

故答案为：（-4，0）．