问题
解答题
| 已知函数f（x）=x3-3ax+b在x=1处有极小值2． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数g(x)=
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答案
（I）f'（x）=3x2-3a…（1分）
依题意有
，…（3分）f′(1)=3-3a=0 f(1)=1-3a+b=2
解得
，…（4分）a=1 b=4
此时f'（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值
∴f（x）=x3-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2-3
∴g(x)=
f′(x)-2x+3=m 3
(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3…（6分）m 3
当m=0时，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一个零点x=
（符合），…（8分）3 2
当m≠0时，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点．
则
，得m=△=4-4m(-m+3)=0 0≤
≤21 m
…（10分）3+ 5 2
②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，
则g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得m≤
，或m≥3…（12分）1 3
经检验m=3有2个零点，不满足题意．
综上：m的取值范围是m≤
，或m=1 3
，或m＞3…（14分）3+ 5 2