已知x∈[-1，1]，关于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，tanx∈[-tan1，tan1]，

∴令t=tanx∈[-tan1，tan1]，可得f（t）=t²-4at+2+2a，对称轴为t=2a，

若△=0，可得△=16a²-8a-8=0解得a=1或-

1

2

，

当a=1时，f（t）=（t-2）²≤0可得t=2∉[-tan1，tan1]，故a=1舍去；

当a=-

1

2

时，f（t）=（t-1）²≤0可得t=1∈[-tan1，tan1]，a=-

1

2

满足题意；

若△＞0，可得a＞1或a＜-

1

2

，

对称轴t=2a，

当a＞1时，2a＞2，f（t）开口向上，要求f（t）=t²-4at+2+2a，有有限个解

∴f（tan1）=0，只有一个解x=tan1，（tan1）²-4atan1+2+2a=0，解得a=

tan21+2

2(2tan1-1)

＞1满足题意，

当-tan1＜2a＜1时，f（t）＜0有无数个解，不满足题意；

当2a≤-tan1时，有f（-tan1）=0，可得，（-tan1）²+4atan1+2+2a=0，解得a=-

tan21+2

2(2tan1+1)

，因为tan1=1.557，

∴-2×

tan21+2

2(2tan1+1)

＞-tan1，不满足题意；

综上：a=-

1

2

或a=

tan21+2

2(2tan1-1)

，

故选D；