（Ⅰ）g(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

…（2分）

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)…（3分）

∴函数g（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得g（x+

π

12

）=sin2x，

再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得h（x）=sinx，…（4分）

再将函数h（x）的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0＜m＜

1

2

)倍（横坐标不变），

并将图象向上平移1个单位，得f（x）=msinx+1．…（5分）

（Ⅱ）方程f（x）=x有且只有一个实根．…（6分）

理由如下：

由（Ⅰ）知f（x）=msinx+1，令F（x）=f（x）-x=msinx-x+1，

因为F（0）=1＞0，结合0＜m＜

1

2

，得F(

π

2

)=m-

π

2

+1＜

3

2

-

π

2

＜0．

所以F（x）=0在(0，

π

2

)至少有一个根．…（7分）

又因为F′(x)=mcosx-1＜m-1＜-

1

2

＜0，

所以函数F（x）在R上单调递减，

因此函数F（x）在R上有且只有一个零点，即方程f（x）=x有且只有一个实根．…（9分）

（Ⅲ）因为a₁=0，a_n+1=f（a_n）=msina_n+1，所以a₂=1＞a₁，

又a₃=msin1+1，因为0＜1＜

π

2

，所以0＜sin1＜1，所以a₃＞1=a₂．

由此猜测a_n＞a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是单调递增数列．…（11分）

以下用数学归纳法证明：n∈N，且n≥2时，a_n＞a_n-1≥0成立．

（1）当n=2时，a₂=1，a₁=0，显然有a₂＞a₁≥0成立．

（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即a_k＞a_k-1≥0（k≥2）．…（12分）

则n=k+1时，a_k+1=f（a_k）=msina_k+1，

因为0＜m＜

1

2

，所以ak=f(ak-1)=msinak-1+1＜m+1＜

1

2

+1＜

π

2

．

又sinx在(0，

π

2

)上单调递增，0≤ak-1＜ak＜

π

2

，

所以sina_k＞sina_k-1≥0，所以msina_k+1＞msina_k-1+1，

即sina_k+1＞msina_k-1+1=f（a_k-1）=a_k≥0，

即n=k+1时，命题成立．…（13分）

综合（1），（2），n∈N，且n≥2时，a_n＞a_n-1成立．

故数列{a_n}为单调递增数列．…（14分）