（Ⅰ）由f(x)=

1

x

+clnx，得f′(x)=-

1

x2

+

c

x

．…（1分）

∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），

∴f′(s)=-

1

s2

+

c

s

=

cs-1

s2

=0，…①且f（s）=

1

s

+clns=0…．②…（2分）

联立①②得c=e，s=

1

e

．…（3分）

∴f(x)=

1

x

+elnx．…（4分）

（Ⅱ）证明：f′(x)=-

1

x2

+

e

x

．

∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，

∴直线l的方程为：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，

又∵T在直线l上，∴实数t必为方程

2

t

+elnt-e=0…．③的解．…（5分）

令g(t)=

2

t

+elnt-e，则g′(t)=-

2

t2

+

e

t

=

et-2

t2

，

解g′（t）＞0得t＞

2

e

，g′（t）＜0得0＜t＜

2

e

．

∴函数y=g（t）在(0，

2

e

]递减，在(

2

e

，+∞)递增．…（7分）

∵g(

1

e

)=0，且函数y=g（t）在(0，

2

e

)递减，

∴t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在区间(0，

2

e

]内的唯一一个解，

又∵f(

1

e

)=0，∴t=

1

e

不合题意，即t＞

2

e

．…（8分）

∵g（1）=2-e＜0，g(e)=

2

e

＞0，函数y=g（t）在(

2

e

，+∞)递增，

∴必有1＜t＜e．…（9分）

（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），S(

1

e

，0)

∴tanα=kST=

f(t)-0

t-s

=

1 t +elnt

t- 1 e

，

由③得tanα=

1 t +elnt

t- 1 e

=

e

t

，…（10分）

∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜

π

2

．

∵1＜t＜e，∴1＜tanα=

e

t

＜e，…（11分）

∵tan

π

4

=1，tan

5π

12

=tan(

π

6

+

π

4

)=

tan π 6 +tan π 4

1-tan π 6 tan π 4

=2+

3

＞e，…（13分）

∴tan

π

4

＜tanα＜tan

5π

12

，

∵y=tanx在(0，

π

2

)单调递增，∴

π

4

＜α＜

5π

12

．…（14分）