已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以f′(x)=2x+
，a x
函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．
由2+a=10得：a=8． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx．
因为F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．
又因为F′(x)=2x-2+
≥28 x
-2=6＞0，所以F（x）在（0，+∞）上递增，16
所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一
个实根． …（7分）
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，f′(x)=2x+
，可求得曲线y=f（x）在点A处的切8 x
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
)(x-t)，8 t
即y=(2t+
)x-t2+8lnt-8（x＞0）． …（8分）8 t
记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+8 t
)x+t2-8lnt+8（x＞0），8 t
则h′(x)=2x+
-(2t+8 x
)=8 t
． …（11分）2(x-t)(x-
)4 t x
（1）当t=
，即t=2时，h′(x)=4 t
≥0对一切x∈（0．+∞）成立，2(x-2)2 x
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，
即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧． …（12分）
（2）当t＞
，即t＞2时，x∈(0，4 t
)时，h'（x）＞0；x∈(4 t
，t)时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．4 t
故h（x）在(
，t)上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．4 t
又h（t）=0，所以当x∈(
，t)时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，4 t
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧． …（13分）
（3）当t＜
，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；x∈(t，4 t
)时，h'（x）＜0；x∈(4 t
，+∞)时，h'（x）＞0．4 t
故h（x）在（0，t）上单调递增，在(t，
)上单调递减．4 t
又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当x∈(t，
)时，h（x）＜0，4 t
即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．
综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧． …（14分）
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）证明如下：
由f（x）=x2+8lnx，f′(x)=2x+
，可求得曲线y=f（x）在点A处的切8 x
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
)(x-t)，8 t
即y=(2t+
)x-t2+8lnt-8（x＞0）． …（8分）8 t
记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+8 t
)x+t2-8lnt+8（x＞0），8 t
则h′(x)=2x+
-(2t+8 x
)=8 t
． …（11分）2(x-t)(x-
)4 t x
若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
由二次函数的性质知，当且仅当t=
，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．4 t
所以h（x）在（0，+∞）上递增．
又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧． …（14分）