问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.
答案

(1)当m=0时,函数f(x)=-2x+3+lnx

由题意知x>0,f′(x)=-2+

1
x
=
-2x+1
x
,令f′(x)>0,得0<x<
1
2
时,

所以f(x)的增区间为(0,

1
2
).

(2)由f′(x)=mx-m-2+

1
x
,得f′(1)=-1,

知曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2,
于是方程:-x+2=f(x)即方程

1
2
m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个实数根;
设g(x)=
1
2
m(x-1)2-x+1+lnx,(x>0).

则g′(x)=

mx2-(m+1)x+1
x
=
(x-1)(mx-1)
x

①当m=1时,g′(x)=
(x-1)(x-1)
x
≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=0,故m=1符合题设;
②当m>1时,由g′(x)>0得0<x<
1
m
或x>1,

由g′(x)=

(x-1)(mx-1)
x
<0得
1
m
<x<1,

故g(x)在区间(0,

1
m
),(1,+∞)上单调递增,在( 1,
1
m
)区间单调递减,

又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故m>1不合题意;

③当0<m<1时,由g′(x)=

(x-1)(mx-1)
x
>0得0<x<1或x>
1
m

由g′(x)=<0得1<x<

1
m

故g(x)在区间(0,1),(1,

1
m
)上单调递增,在(
1
m
,+∞)区间单调递减,

又g(1)=0,且当x→0时,g(x)→+∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故0<m<1不合题意;

∴由上述知:m=1.

单项选择题
问答题 简答题