（1）当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，

令f′（x）=0，得x=1，

于是，当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，

所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，

又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

，

所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．

（2）f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

ax-1

ax2

，

因为a为正实数，由定义域知x＞0，

所以函数的单调递增区间为[

1

a

，+∞)，

又函数f（x）在[

1

2

，+∞)上为增函数，所以0＜

1

a

≤

1

2

，

所以a≥2；

（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，

推得方程

1-x

2x

+lnx-m=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，即方程

1-x

2x

+lnx=m在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，

则函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点．

考察函数g(x)=

1-x

2x

+lnx，g′(x)=-

1

2x2

+

1

x

=

2x-1

2x2

，则g（x）在区间[

1

e

，

1

2

]为减函数，在[

1

2

，e]为增函数，

则有：g(e)=

1-e

2e

+lne=

1-e

2e

+1=

1+e

2e

＞0，

g(

1

2

)=

1- 1 2

2× 1 2

+ln

1

2

=

1

2

-ln2＜0，

g（

1

e

）=

1- 1 e

2× 1 e

+ln

1

e

=

e-1

2

-1=

e-3

2

＜0＜g（e），

画函数g(x)=

1-x

2x

+lnx，x∈[

1

e

，e]的草图，要使函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点，

则要满足g(

1

2

)＜m≤g(

1

e

)，

所以m的取值范围为{m|

1

2

-ln2＜m≤

e-3

2

}．