|sinx|

x

=k⇒|sinx|=kx，

要使方程

|sinx|

x

=k(k＞0)在（0，+∞）有两个不同的解，

则y=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点，

所以直线y=kx与y=|sinx|在(π，

3

2

π)内相切，且切于点（β，-sinβ），

由-cosβ=

-sinβ

β

⇒β=tanβ，

tan(β+

π

4

)=

1+β

1-β

，

故选C．