问题 选择题
如果关于x的方程
|x|
x+4
=kx2
有4个不同的实数解,则实数k的取值范围是(  )
A.(0,
1
4
)
B.(
1
4
,1)
C.(1,+∞)D.(
1
4
,+∞)
答案

方程

|x|
x+4
=kx2

(1)由方程的形式可以看出,x=0恒为方程①的一个解

(2)当x<0且x≠-2时方程①有解,则

-x
x+4
=kx2即kx2+4kx+1=0

当k=0时,方程kx2+4kx+1=0无解;

当k≠0时,△=16k2-4k≥0即k<0或k≥

1
4
时,方程kx2+4kx+1=0有解.

设方程kx2+4kx+1=0的两个根分别是x1,x2则x1+x2=-4,x1x2=

1
k

当k>

1
4
时,方程kx2+4kx+1=0有两个不等的负根;

当k=

1
4
时,方程kx2+4kx+1=0有两个相等的负根;

当k<0时,方程kx2+4kx+1=0有一个负根.

(3)当x>0时,方程①有解,则

x
x+4
=kx2,kx2+4kx-1=0

当k=0时,方程kx2+4kx-1=0无解;

当k≠0时,△=16k2+4k≥0即k>0或k≤-

1
4
时,方程kx2+4kx-1=0有解.

设方程kx2+4kx-1=0的两个根分别是x3,x4

∴x3+x4=-4,x3x4=-

1
k

∴当k>0时,方程kx2+4kx-1=0有一个正根,

当k≤-

1
4
时,方程kx2+4kx+1=0没有正根

综上可得,当k∈(

1
4
,+∞)时,方程
|x|
x+4
=kx2
有4个不同的实数解.

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