问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由； （2）若函数F（x）=ax+f（x），试问：方程F（x）=0有没有负根，请说明理由． （3）记G（x）=|ax-b|-b•ax，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范围． |
答案
（1）令f（x1）=f（x2）
=x1-2 ax1+1 x2-2 ax2+1
化简得：（2a+1）（x1-x2）=0
因为a＞1．所以等式成立的唯一条件是：x1=x2．
∴函数的图象上不存在不同的两点，它们的函数值相同
（2）F（x）=ax+f（x）=axx-2 ax+1
a＞1，所以ax在区间（-∞，0]上为增函数，而f（x）在区间（-∞，0]上也是增函数．
根据函数单调性的性质：在同一单调区间内增函数+增函数，还是增函数．
可得函数F（x）=ax+f（x）在区间（-∞，0]上为增函数
又因为F（0）=-1
所以当x＜0时，f（x）＜-1
所以就不存在x＜0，使得f（x）=0．
即方程F（x）=0没有负根
（3）ax＞0，
如果b＜0，则：g（x）=（1-b）ax-b，为单调递增函数，无最小值．
如果b≥0，则：
当ax＞b时，g（x）=（1-b）ax-b，
当ax＜b时，g（x）=-（1+b）ax+b，
因为在两个开区间内，g（x）都是单调函数．
所以，要取得最小值的条件是，g（x）在（-∞，b]为减函数，在[b，+∞）为增函数．
所以：
1-b＞0
-（1+b）＜0
又∵b≥0
解得：0≤b＜1
