因为关于x的方程4f（x）=x+m有4个不同的根，

就是函数y=f（x）的图象与y=

1

4

（x+m）的图象有4个不同的交点，

f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，

所以可以得到函数f（x）的图象

又因为y=

1

4

（x+m）是一组斜率为

1

4

的平行直线系，

在同一坐标系内画出它们的图象如图，

由图得y=

1

4

（x+m）在过点A（3，1）的直线y=

1

4

（x+1）和y=

1

4

x中间时符合要求，

所以m的取值范围是0＜k≤1．

故答案为：（0，1]．