（1）依题可设g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；

又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1

∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，

设P（x_o，y_o），则|PQ|2=

x

20

+(y0-2)2=

x

20

+(x0+

m

x0

)2=2

x

20

+

m2

x 20

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m

当且仅当2

x

20

=

m2

x 20

时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

当m＞0时，

(2 2 +2)m

=

2

解得m=

2

-1

当m＜0时，

(-2 2 +2)m

=

2

解得m=-

2

-1

（2）由y=f(x)-kx=(1-k)x+

m

x

+2=0（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）

当k=1时，方程（*）有一解x=-

m

2

，函数y=f（x）-kx有一零点x=-

m

2

；

当k≠1时，方程（*）有二解⇔△=4-4m（1-k）＞0，

若m＞0，k＞1-

1

m

，

函数y=f（x）-kx有两个零点x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；

若m＜0，k＜1-

1

m

，

函数y=f（x）-kx有两个零点x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；

当k≠1时，方程（*）有一解⇔△=4-4m（1-k）=0，k=1-

1

m

，

函数y=f（x）-kx有一零点x=

1

k-1

=-m

综上，当k=1时，函数y=f（x）-kx有一零点x=-

m

2

；

当k＞1-

1

m

（m＞0），或k＜1-

1

m

（m＜0）时，

函数y=f（x）-kx有两个零点x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；

当k=1-

1

m

时，函数y=f（x）-kx有一零点x=

1

k-1

=-m．