问题 解答题

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

答案

a的取值范围为a>1或a<-

解:令f(x)=0,则Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9(a-)2>0,即f(x)=0有两个不相等的实数根,

∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.

f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,

∴a≤-或a≥1.

检验:(1)当f(-1)=0时,a=1,所以f(x)=x2+x.

令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.

方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a≠1.

当f(3)=0时,a=-

此时f(x)=x2x-

令f(x)=0,即x2x-=0,

解得x=-或x=3.

方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a≠-

所以a的取值范围为a>1或a<-

单项选择题 A3/A4型题
单项选择题