∵a³+3a²+1=0，∴a（a²+3a+1）=0

∴a=0或a²+3a+1=0

当a=0时

2 a3

a6+ 6 a3 + 1

的值为0．

当a²+3a+1=0时，每项都除以a得a+

1

a

=-3，将上式的分子分母同时除以a³，分子为常数2，分母为

a³+3+

1

a3

，

又∵a³+

1

a3

=（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

）=（a+

1

a

）[（a+

1

a

）²-3]=-3[9-3]=-12，

∴

2 a3

a6+6 a3+1

=

2

-12

=-

1

6

故

2 a3

a6 +6 a3+1

的值为-

1

6

或0．