已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．（1）若f（x）≤0的解

问题解答题

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）．

（1）若f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b，c的值；

（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，求实数b的取值范围．

答案

（1）因为f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，

所以x²+2bx+c=0的根为-1，1．

故-1+1=-2b⇒b=0；

（-1）×1=c⇒c=-1．

所以b=0，c=-1．

（2）因为f（1）=0，所以1+2b+c=0⇒c=-2b-1．

所以f（x）+x+b=0即为x²+（2b+1）x-b-1=0．

令g（x）=x²+（2b+1）x-b-1

∵g（x）=f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，如图示

∴

g(0)＜0

g(1)＞0

g(-3)＞0

g(-2)＜0

⇒

b＞-1

b＞

b＜

⇒

＜b＜

故实数b的取值范围是

＜b＜

．