因为关于x的不等式a≤

5

9

x2-

10

3

x+6≤b的解集是[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₁＜x₂＜x₃＜x₄），

所以x₂，x₃是方程

5

9

x2-

10

3

x+6-a=0的两根，

由韦达定理知：x2+x3=

10 3

5 9

=6．

x₁，x₄是方程

5

9

x2-

10

3

x+6-b=0的两根，

由韦达定理知：x1+x4=

10 3

5 9

=6．

所以x₁+x₂+x₃+x₄=12．

故答案为12．