问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
答案
（1）∵不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax2+（b-1）x+c=0的△=（b-1）2-4ac=0．
联立
，解得a+b+c-2=0 16a+4b+c-8=0 (b-1)2-4ac=0 a＞0
．a=1 b=-3 c=4
∴f（x）=x2-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立⇔m＜
=x+f(x) x
-3在x∈（1，+∞）上恒成立；4 x
令g（x）=x+
-3(x＞1)，则g(x)≥24 x
-3=4-3=1，当且仅当x=2时取等号．x• 4 x
∴m＜1．