由题意可知，用0，1，2，3，4，5六个数字组成的各位数各不相的四位数有：5×5×4×3=300（个），

则：①1、2、3、4、5 在首位各有300÷5=60（次），和为（1+2+3+4+5）×1000×60=900000；

②1、2、3、4、5在百位、十位、个位分别出现的次数为：4×4×3=48（次），

根据数位知识可知，所有这些四位数的和为：

（1+2+3+4+5）×1000×60+（1+2+3+4+5）×100×48+（1+2+3+4+5）×10×48+（1+2+3+4）×1×48

=900000+72000+7200+720，

=979920．

答：全体这样的四位数的和为979920．