问题
解答题
| 已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈N+，且满足f（2）＜f（3）． （1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）解析式； （2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上值域为[-4，
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答案
（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0
解得-1＜k＜2
又k∈N+∴k=1
分别代入原函数得f（x）=x2
（2）由（1）知g（x）=-qx2+（2q-1）x+1，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x=
=1-2q-1 2q
＜11 2q
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得
又g（2）=-1≠-4，从而必有g（-1）=2-3q=-4
解得q=2
此时，g（x）=-2x2+3x+1，其对称轴x=
∈[-1，2]3 4
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g(
)=-2×(3 4
)2+3×3 4
+1=3 4
符合题意．17 8