问题
解答题
已知二次函数y=f（x）（z∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x＞0时，恒有f（x）≤tx，求实数t的取值范围．
答案
（1）由题意设二次函数y=f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）…2分
当x=0时，y=-3，即有-3=a（-1）×（-3），
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-1）（x-3）=-x2+4x-3…6分
（2）∵x＞0时，恒有f（x）≤tx，
∴-x2+4x-3≤tx，
∴t≥
对x＞0恒成立，…8分-x2+4x-3 x
而
=-x--x2+4x-3 x
+4=-（x+3 x
）+4≤-23 x
+4（当且仅当x=3
即x=3 x
时取等号成立）…10分3
∴t≥4-2
．3
故实数t的取值范围为[4-2
，+∞）…12分3