设这个数的位数为n，

（1）当n=1时，设个位为a，则16a=a，

解得：a=0；

（2）当n=2时，设个位、十位分别为a、b，则16（a+b）=10b+a，

即6b+15a=0，

∵a是从0到9的整数，b是从1到9的整数，

∴左边大于0，不成立，舍去；

（3）当n=3时，设个、十、百位分别为a、b、c，则16（a+b+c）=100c+10b+a，

即6b+15a=84c，此时有可能成立；

①当c≥3时，6a+15b≥252，

∵a、b的最大值为9，

∴6a+15b≤189，

∴此时无解，舍去．

②当c=2时，6b+15a=168，

∵a、b的最大值为9，

∴容易判断此时只有一组解a=8，b=8，即此时此数为288，

③当c=1时，6b+15a=84，

∴a=2，b=9或a=4，b=4，

也就是说这个分类下有2个数，即144和192；

（4）当n=4时，设个、十、百、千位分别为a、b、c、d，则16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a，

∵一个n位数中除了最高位是从1到9的数外，其他数位都是从0到9的数，

∴右边最小值为1000，而左边最大值为16×9+9+9+9）＜1000，

∴方程不可能有解．

∴这个数不是4位数；

同理：当n＞4时，无解；

∴符合条件的共有4个数：0，192、144、288．

∴0+192+144+288=624．

答：所有这样的自然数之和是624．