由ax²+（a-3）x+（a-4）＞0，得：（x²+x+1）a-3x-4＞0，

∵x²+x+1＞0恒成立，

令f（a）=（x²+x+1）a-3x-4，

要使（x²+x+1）a-3x-4＞0对a∈[1，∞）恒成立，

则f（1）＞0，即x²+x+1-3x-4＞0恒成立，

解得：x＜-1或x＞3．

所以，使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0对a∈[1，∞）恒成立的x的取值范围是（-∞，-1）或（3，+∞）．

故答案为（-∞，-1）或（3，+∞）．