已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1．（1）设集合P={1，2，

问题解答题

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0

x＞0

y＞0

内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

答案

（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

∵试验发生包含的事件是3×5=15，

函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

，

要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

当且仅当a＞0且

≤1，即2b≤a

若a=1则b=-1，若a=2则b=-1，1；若a=3则b=-1，1；

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为

．

（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，

函数f（x）=ax²-4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

a+b-8≤0

a＞0

b＞0

}

构成所求事件的区域为三角形部分

由

a+b-8=0

得交点坐标为(

，

)，

∴所求事件的概率为P=

×8×

×8×8

．