问题
解答题
| 设a、b、c分别是先后掷一枚质地均匀的正方体骰子三次得到的点数． （1）求使函数f(x)=
（2）设随机变量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和数学期望． |
答案
（1）由题意可得：f′（x）=bx2+（a+c）x+（a+c-b）…（1分）
若f（x）在R上不存在极值点，则f′（x）≥0恒成立
∴△=（a+c）2-4b（a+c-b）≤0…（2分）即（a+c-2b）2≤0
∴a+c=2b
∴a、b、c成等差数列…（4分）
又a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}
按公差分类a、b、c成等差数列共有6+4×2+4=18种情况
故函数f（x）在R上不存在极值点的概率P=
=18 6×6×6
…（6分）1 12
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4，5
若ξ=0，则a=b，所以P(ξ=0)=
=6 36 1 6
若ξ=1，则a=b+1或b=a+1，所以P(ξ=1)=
=10 36 5 18
同理：P(ξ=2)=
=8 36
，P(ξ=3)=2 9
=6 36
，P(ξ=4)=1 6
=4 36
，P(ξ=5)=1 9
=2 36
…（10分）1 18
ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 18 |
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 18 |
| 35 |
| 18 |