问题
解答题
A有一只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(x、y、z≥0,且x+y+z=6),B有一只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为A胜,异色时为B胜.
(1)用x、y、z表示B胜的概率;(2)当A如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?
(3)若规定A取红球,白球,黄球而获胜的得分分别为1,2,3分,否则得0分,求A得分的期望的最大值及此时x,y,z的值.
答案
(1)显然A胜与B胜为对立事件,
A胜分为三个基本事件:
①A1:“A、B均取红球”;
②A2:“A、B均取白球”;
③A3:“A、B均取黄球”.
∵P(A1)=
×x 6
,P(A2)=1 2
×y 6
,P(A3)=1 3
×z 6 1 6
∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
,3x+2y+z 36
∴P(B)=1-3x+2y+z 36
(2)由(1)知P(A)=
,3x+2y+z 36
又x+y+z=6,x≥0,y≥0,z≥0,
于是P(A)=
=3x+2y+z 36
≤12+x-z 36
,1 2
∴当x=6,y=z=0,
即A在箱中只放6个红球时,获胜概率最大,其值为
.1 2
(3)设A的得分为随机变量ξ,
则P(ξ=3)=
×z 6
=1 6
;z 36
P(ξ=2)=
×y 6
=2 6
;2y 36
P(ξ=1)=
×x 6
=3 6
;3x 36
P(ξ=0)=1-
,3x+2y+z 36
∴Eξ=3×
+2×z 36
+1×2y 36
+0=3x 36
+1 2
,y 36
∵x+y+z=6(x,y,z∈N),
∴y=6时,
Eξ取得最大值为
,2 3
此时x=z=0.