问题
解答题
A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜．
（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否则得0分，求A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．
答案
（1）显然A胜与B胜为对立事件，
A胜分为三个基本事件：
①A1：“A、B均取红球”；
②A2：“A、B均取白球”；
③A3：“A、B均取黄球”．
∵P(A1)=
×x 6
，P(A2)=1 2
×y 6
，P(A3)=1 3
×z 6 1 6
∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
，3x+2y+z 36
∴P(B)=1-3x+2y+z 36
（2）由（1）知P(A)=
，3x+2y+z 36
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是P(A)=
=3x+2y+z 36
≤12+x-z 36
，1 2
∴当x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为
．1 2
（3）设A的得分为随机变量ξ，
则P(ξ=3)=
×z 6
=1 6
；z 36
P(ξ=2)=
×y 6
=2 6
；2y 36
P(ξ=1)=
×x 6
=3 6
；3x 36
P(ξ=0)=1-
，3x+2y+z 36
∴Eξ=3×
+2×z 36
+1×2y 36
+0=3x 36
+1 2
，y 36
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6时，
Eξ取得最大值为
，2 3
此时x=z=0．