袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不

问题解答题

袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同．从袋中同时取出2个球．

（1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数；

（2）在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求失和m+n≤40的所有数组（m，n）．

答案

（1）设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍（k为整数）

则有

2m+n

∴

m(m-1)

=kmn

即m=2kn+1∵k∈Z，n∈Z，

即m为奇数得证．

（2）由题意，有

2m+n

，

∴

m(m-1)

n(n-1)

=mn

∴m²-m+n²-n-2mn=0

即（m-n）²=m+n，∵m≥n≥2，∴m+n≥4，

∴4≤m-n≤

＜7，m-n的取值只可能是2，3，4，5，6

相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，

∴

m=3

n=1

或

m=6

n=3

或

m=10

n=6

或

m=15

n=10

或

m=21

n=15

，

注意到m≥n≥2

∴（m，n）的数组值为（6，3），（10，6），（15，10），（21，15）．