问题
填空题
抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（-1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是______．
答案
∵点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
∴
=OA OC
，OC OB
即
=1 OC
，OC 4
解得OC=2，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x=
=-1+4 2
，3 2
设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，
则BQ=4-
=2.5，3 2
tan∠ABC=
=OC OB
，PQ BQ
即
=2 4
，PQ 2.5
解得PQ=
，5 4
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
则y=a（x2-3x-4）=a（x-
）2-3 2
a，25 4
当点C在y轴正半轴时，0＜-
a＜25 4
，5 4
解得-
＜a＜0，1 5
当点C在y轴负半轴时，-
＜-5 4
a＜0，25 4
解得0＜a＜
，1 5
所以，a的取值范围是-
＜a＜0或0＜a＜1 5
．1 5
故答案为：-
＜a＜0或0＜a＜1 5
．1 5
