问题
解答题
设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为
（1）求P1，P2，P3，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用Pn，Pn-1表示Pn+1； （2）设an=Pn-Pn-1（1≤n≤100），求证：数列{an}是等比数列，并求出{an}的通项公式； （3）求玩该游戏获胜的概率． |
答案
（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为Pn，
则P1即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P1=
，1 2
P2即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P2=
P0+1 2
P1=1 2
，3 4
P3即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则P3=
P1+1 2
P2=1 2 5 8
故Pn+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则Pn+1=
Pn+1 2
Pn-11 2
（2）由（1）知：Pn+1=
Pn+1 2
Pn-1，1 2
∴Pn+1-Pn=-
(Pn-Pn-1)，1 2
∴{Pn-Pn-1}表示等比数列，其公比为-1 2
又a1=P1-P0=-
，1 2
∴an=(-
)n，1≤n≤100；1 2
（3）玩该游戏获胜，即求P99
由（2）知，Pn-Pn-1=(-
)n（2≤n≤100），1 2
∴P2-P1=
，1 4
P3-P2=-
，…1 8
Pn-Pn-1=(-
)n（2≤n≤100），1 2
∴Pn-P1=
-1 4
+…+(-1 8
)n1 2
∴Pn-P1=
[1-(-1 4
)n-1]1 2 1-(-
)1 2
∴Pn=
[1-2 3
×(-1 4
)n-1]1 2
∴n=99时，P99=
[1-(2 3
)100]．1 2