（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以

.

A

与

.

B

相互独立，由于P（A）=P（B）=

C k-1n-1

C kn

=

k

n

，故P（

.

A

）=P（

.

B

）=1-

k

n

，

因此学生甲收到活动信息的概率是1-（1-

k

n

）²=

2kn-k2

n2

（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1

当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（

C

kn

）²，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k-m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为

C

kn

C

2k-mk

C

m-kn-k

=

C

kn

C

m-kk

C

m-kn-k

P（X=M）=

C kn C 2k-mk C m-kn-k

(C kn )2

=

C 2k-mk C m-kn-k

C kn

当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m-k+1）2≤（n-m）（2k-m）⇔m≤2k-

(k+1)2

n+2

假如k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t成立，则当（k+1）²能被n+2整除时，

k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜2k+1-

(k+1)2

n+2

＜t，故P（X=M）在m=2k-

(k+1)2

n+2

和m=2k+1-

(k+1)2

n+2

处达到最大值；

当（k+1）²不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k-[

(k+1)2

n+2

]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），

下面证明k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t

因为1≤k＜n，所以2k-

(k+1)2

n+2

-k=

kn-k2-1

n+2

≥

k(k+1)-k2-1

n+2

=

k-1

n+2

≥0

而2k-

(k+1)2

n+2

-n=-

(n-k+1)2

n+2

＜0，故2k-

(k+1)2

n+2

＜n，显然2k-

(k+1)2

n+2

＜2k

因此k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t