问题
解答题
已知函数f(x)=sin2x+asinx+
（Ⅰ）设a＞0，b=
（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a2+b2-8a的最小值． |
答案
（Ⅰ）∵a＞0，b=5 3
∴f(
)=sin2π 6
+asinπ 6
+π 6
=a2+
-15 3 a
+3a 2
+2 3a
≥21 4
+
*3a 2 2 3a
=1 4 9 4
即f(
)≥π 6 9 4
（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-
，设t=sinx，令g(t)=t2+at+a-3 a 3 a
=(t+
)2-a 2
+a-a2 4
(-1≤t≤1)3 a
当-
＜0时，h(a)=g(1)；当-a 2
＞0时，h(a)=g(-1)；a 2
h(a)=1+2a-
(a＞0)3 a 1-
(a＜0)3 a
解得a的取值范围是(-
，0)∪(3，+∞)3 5
（Ⅲ）设t=sinx，令ϕ(t)=t2+at+a+
，b-1 a
∴φ(t)的图象的对称轴t=-
≤-1，a 2
设t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+b-1 a
=(t+
)2-a 2
+a+a2 4
(-1≤t≤1)b-1 a
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1