问题
解答题
某学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性抽取3道题，规定至少正确完成其中2道题便可通过，已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都是
（1）求甲正确完成的题数ξ的分布列及期望；求乙正确完成的题数η的分布列及期望； （2）请用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平． |
答案
（1）随机变量ξ的所有可能值为1，2，3，
且P（ξ=1）=
=C 14 C 22 C 36
，1 5
P（ξ=2）=
=C 24 C 12 C 36
，3 5
P（ξ=3）=
=C 34 C 02 C 36
，1 5
所以ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
随机变量η的所有可能值为0，1，2，3，且P（η=k）=
(C k3
)k•(2 3
)3-k，k=0，1，2，3，1 3
所以P（η=0）=
(C 03
)2(2 3
)3=1 3
，1 27
P（η=1）=
(C 13
)1(2 3
)2=1 3
，6 27
P（η=2）=
(C 23
)2(2 3
)1=1 3
，12 27
P（η=3）=
(C 33
)3(2 3
)0=1 3
，8 27
∴η的分布列为
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 27 |
| 6 |
| 27 |
| 12 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
（2）由于随机变量ξ，η的期望相同，所以考虑随机变量ξ，η的方差，
D（ξ）=（2-1）2×
+（2-2） 2×1 5
+(2-3)2×3 5
=1 5
，2 5
D（η）=(2-0)2×
+(2-1)2×1 27
+(2-2)2×6 27
+(2-3)2×12 27
=8 27
，2 3
∴D（ξ）＜D（η），所以，从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好．