问题 解答题

一个口袋中装有三个红球和两个白球.第一步:从口袋中任取两个球,放入一个空箱中;第二步:从箱中任意取出一个球,记下颜色后放回箱中.若进行完第一步后,再重复进行三次第二步操作,

(理科)设ξ表示从箱中取出红球的个数,求ξ的分布列,并求出Eξ和Dξ.

(文科)分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率.

答案

(理)ξ的取值可能为0,1,2,3

第一步操作结束后,箱子中没有红球的概率为

C22
C25
=
1
10

箱子中有1个红球的概率为

C13
C12
C25
=
3
5

箱子中有2个红球的概率为

C23
C25
=
3
10
,-------(3分)

P(ξ=0)=

1
10
×1+
3
5
×
C03
(
1
2
)3+
3
10
×0=
7
40

P(ξ=1)=

1
10
×0+
3
5
×
C13
1
2
(
1
2
)2+
3
10
×0=
9
40

P(ξ=2)=

1
10
×0+
3
5
×
C23
(
1
2
)2
1
2
+
3
10
×0=
9
40

P(ξ=3)=

1
10
×0+
3
5
×
C33
(
1
2
)3+
3
10
×1=
3
8
,(9分)

所以ξ的分布列为

ξ0123
P
7
40
9
40
9
40
3
8
--------(10分)

Eξ=0×

7
40
+1×
9
40
+2×
9
40
+3×
3
8
=
9
5
--------(12分)Dξ=(0-
9
5
)2×
7
40
+(1-
9
5
)2×
9
40
+(2-
9
5
)2×
9
40
+(3-
9
5
)2×
3
8
=
63
50
------(14分)

(文)设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为P1、P2、P3----(2分)

第一步操作结束后,箱子中没有红球的概率为

C22
C25
=
1
10

箱子中有1个红球的概率为

C13
C12
C25
=
3
5
,箱子中有2个红球的概率为
C23
C25
=
3
10
,-------(5分)

P1=

1
10
×0+
3
5
×
C13
1
2
(
1
2
)2+
3
10
×0=
9
40
,--------(8分)

P2=

1
10
×0+
3
5
×
C23
(
1
2
)2
1
2
+
3
10
×0=
9
40
,--------(11分)

P3=

1
10
×0+
3
5
×
C33
(
1
2
)3+
3
10
×1=
3
8
.-------(14分)

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