考察等式：C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn（_爱下问搜题

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问题填空题

考察等式：

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

=

C

rn

（*），其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件A_k={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=

C

km

C

r-kn-m

C

rn

，k=0，1，2，…，r．
显然A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

C

rn

，
所以

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

=

C

rn

，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______．

答案

设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件为正品．

现从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有

C

km

C

r-kn-m

种情况，又从中随机取出r件产品，共有

C

rn

种情况，k=0，1，…，r，故其概率为P(Ak)=

C

km

C

r-kn-m

C

rn

，k=0，1，…，r．

∵A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），

因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

C

rn

，

所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．

从而可知正确的序号为：①③

故答案为：①③

名词解释

窑皮

判断题

应答器和LEU/BDU报文数据恢复由电务段完成