设y=(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1，

①当a＞0时，抛物线开口向上，存在实数x₀使得关于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，

②当a＜0时，要使得存在实数x₀使得关于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，

△＞0，即在15-4(a+

1

a

)(a+

1

a

+1)＞0，

解之得：-

5

2

＜a+

1

a

＜0，

∴-2＜a＜-

1

2

综上所述，实数a的取值范围是-2＜a＜-

1

2

或a＞0．

故答案为-2＜a＜-

1

2

或a＞0．