问题
解答题
已知函数f（x）=loga
（1）求f（x）的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围． |
答案
（1）由
＞0得 （2+x）（2-x）＞0，则 （x+2）（x-2）＜0，2+x 2-x
解得-2＜x＜2．…（2分）
即定义域为（-2，2）．…（3分）
（2）函数f(x)=loga
是奇函数．…（4分）2+x 2-x
证明如下：任意取x∈（-2，2），
则 f(x)=loga
，f(-x)=loga2+x 2-x
，…（5分）2-x 2+x
又 f(-x)=loga
=loga(2-x 2+x
)-1=-loga2+x 2-x
=-f（x），2+x 2-x
因此函数f(x)=loga
是奇函数．…（8分）2+x 2-x
（3）因为loga
＞0，且 0＜a＜1，所以，0＜2+x 2-x
＜1，…（10分）2+x 2-x
由
＞0，解得-2＜x＜2；由2+x 2-x
＜1，解得 x＜0或x＞2．2+x 2-x
综合可得-2＜x＜0．
因此，当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围为（-2，0）．…（14分）