问题 解答题
已知非常数函数f(x)=loga
1+kx
1-x
(a>0,且a≠1)
(1)若f(x)为奇函数,求k的值.
(2)若f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,求k的取值范围.
答案

(1)由于非常数函数f(x)=loga

1+kx
1-x
(a>0,且a≠1),若f(x)为奇函数,

则有f(-2)+f(2)=0,即 loga

1-2k
3
+loga
1+2k
-1
=loga
1-4k2
-3
=0,故有
1-4k2
-3
=1,解得k=-1,或k=1(舍去).

(2)若f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,则函数f(x)的导数为 f′(x)=

1-x
1+kx
logae>0.

当a>1时,由题意可得x>1时,

1-x
1+kx
>0,可得 1+kx<0,即 k<
-1
x
,可得k<-1.

当 0<a<1时,由题意可得x>1时,

1-x
1+kx
<0,可得 1+kx>0,即 k>
-1
x
,可得k≥0.

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