（1）∵

1+x＞0 1-x＞0

，∴f（x）定义域为x∈（-1，1）

∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）

∴f（x）为奇函数；

∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），

∴f(x)=loga

1+x

1-x

，

求导得f′(x)=

1-x

1+x

•logae•(

1+x

1-x

)′=

2

1-x2

logae，

①当a＞1时，f'（x）＞0，∴f（x）在定义域内为增函数；

②当0＜a＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在定义域内为减函数；

（2）①当a＞1时，∵f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}

∴f(

1

2

)=2，∴log_a3=2，∴a=

3

；

②当0＜a＜1时，

∵f（x）在定义域内为减函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}

∴f(-

1

2

)=2，∴loga

1

3

=2，∴a=

3

3

．