问题
填空题
已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn} 是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2，2a4=b3，且存在常数α、β，使得an=logαbn+β对每一个正整数n都成立，则αβ=______．
答案
a2=a1+d=2+d b2=1×q=q
∵a2=b2
∴q=2+d a4=a1+3d=2+3d b3=1×q2=q2
∵2a4=b3∴2×（2+3d）=q2=（2+d）2 即 d2-2d=0
∵公差不为0
∴d=2∴q=4∴
an=a1+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
bn=a1qn-1=4n-1∵an=logαbn+β
∴2n=logα4n-1+β=（n-1）logα4+β ①
∵①式对每一个正整数n都成立
∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2
∴αβ=22=4