（1）由

x-3

x+3

＞0得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．

∵f(-x)=logm

-x-3

-x+3

=logm

x+3

x-3

=logm(

x-3

x+3

)-1=-f(x)

∴f（x）为奇函数                     …（3分）

（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．

设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，

f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，

∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）

即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，

∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；

当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                      …（7分）

（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，

∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，

则有

logm α-3 α+3 =logmm(α-1) logm β-3 β+3 =logmm(β-1)

…（9分）

∴

α-3 α+3 =m(α-1) β-3 β+3 =m(β-1)

∴α，β是方程

x-3

x+3

=m(x-1)的两个解…（10分）

解得当0＜m＜

2- 3

4

时，[α，β]=[

1-2m- 16m2-16m+1

2m

，

1-2m+ 16m2-16m+1

2m

]，

当

2- 3

4

≤m＜1时，方程组无解，即[α，β]不存在．                 …（12分）